PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFATNYA BESERTA CONTOH SOAL

PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFATNYA BESERTA CONTOH SOAL

Agustus 11, 2020

NAMA MUHAMMAD FAQIH AKBAR
KELAS XMIPA3

Pengertian Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Sifat – Sifat Persamaan Eksponen Berdasarkan Pangkatnya

Sifat – sifat persamaan eksponen sederhana banyak sifatnya, berikut ini sifat – sifat persamaan eksponen berdasarkan pangkatnya adalah :

1.

am. an = am+n
am/an = am-n
(am)n = am.n
(ab)m = am. bm
(a/b)m = am/bm

2. Pangkat Nol

a0 = 1, dengan syarat a ≠ 0

3. Pangkat Bulat Negatif ( n positif )

a-n = 1/an , atau 1/a-n = an

4. Pangkat Bilangan Pecahan

a1/n = n√a
am/n = n√am = ( n√a)m

Bentuk persamaan eksponen :

PE bentuk $a^{f(x)} = a^p$

Jika $a>0$ dan $a\ne 1$ , maka f(x) = p.
Contoh:
$2^{3x} = 2^6$
Maka:
$3x = 6$
$x=2$

PE bentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$

Jika a>0 dan a≠ 1, maka $f(x) = g(x)$
Contoh:
$2^{3x+1} = 2^{2x+3}$
Maka:
$3x+1 = 2x+3$
$x = 2$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{f(x)}$

Jika $a>0$ , $a\ne 1$ , $b>0$ , $b \ne 1$ , dan $a\ne b$ , maka $f(x)$ = 0
Contoh:
$2^{3x+1} = 5^{3x+1}$
Maka:
$3x + 1 = 0$
$x = -\frac{1}{3}$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{g(x)}$

Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas
Contoh:
$2^{3x+1} = 10^{3x}$
Maka:
$\log 2^{3x+1} = \log 10^{3x}$
$(3x+1)\log 2 = (3x)$
$3x \log 2 + \log 2 = 3x$
$\log 2 = 3x (1 - \log 2)$
$x = \frac{\log 2}{3(1 - \log 2)}$

PE bentuk $(h(x))^{f(x)} = (h(x))^{g(x)}$

Kemungkinan yang bisa terjadi adalah:
$f(x) = g(x)$
Contoh:
$(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$
Mungkin:
$(3x+1) = (2x+3)$
$x =2$
$h(x) = 1$
Contoh:
$(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$
Mungkin:
$(3x+2) = 1$
$x = -\frac{1}{3}$
$h(x) = 0$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya positif
Contoh:
$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$
Mungkin:
$(3x+2) = 0$
$x = -\frac{2}{3}$
$h(x) = -1$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh: $(3x+2)^5 = (3x+2)^7$
$(3x+ 2) = -1$
$x=-1$

Persamaan Eksponen Dalam Bentuk Aljabar

Jika terdapat sebuah persamaan eksponen dalam bentuk aljabar sebagai berikut:
$A(a^{f(x)})^2 + B(a^{f(x)}) + C = 0$
Dengan $a^{f(x)}$ adalah persamaan eksponen, $a\ne 1$ , dan konstanta A, B, C adalah bilangan real serta $A\ne 0$ dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke persamaan kuadrat.
Pengubahan dengan cara memisalkan $y = a^{f(x)}$ sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat baru:
$A(y)^2 + B(y) + C = 0$
Akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk persamaan eksponen $y = a^{f(x)}$ . Dengan cara penyelesaian biasa, nilai-nilai x bisa diperoleh.
Sebagai contoh diketahui sebuah persamaan eksponen: $(2x+7)^2 - 4(2x+7)+3 = 0$ .
Maka penyelesaiannya adalah dengan memisalkan persamaan tersebut menjadi:
$y^2 - 4y + 3 = 0$
sehingga
$(y - 3)(y - 1) = 0$
$y_1 = 3$ dan $y_2 = 1$

diperoleh,

$y_1 =2x+7$
$3 = 2x+7$
$x = -2$
dan
$y_2 = 2x+7$
$1 = 2x+7$
$x = -3$

contoh soal :
1. Tentukan penyelesaian dari 2^2x-7 = 8^1-x

Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x

Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2
2. Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1
^{jawab :}

Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1

Berdasarkan sifat B, maka
x - 1 = 0
x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1