SOAL PERSAMAAN LOGARITMA DAN SIFATNYA

 Nama : Muhammad Faqih Akbar

Kelas : X Mipa 3

SOAL DAN PESAMAAN LOGARITMA DAN PEMBAHASAN

Soal Nomor 1
Penyelesaian dari ${}^2\log (2x-5)=4$ adalah $x=\cdots \cdot$
A. $5\frac{1}{2}$                       D. $10\frac{1}{4}$
B. $7\frac{1}{2}$                       E. $10\frac{1}{2}$
C. $8\frac{1}{2}$

Pembahasan

Diketahui ${}^2\log \left(2x-5\right)=4.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}2x-5& =2^4\\ 2x-5& =16\\ 2x& =16+5\\ 2x& =21\\ x& =\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=10\frac{1}{2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Penyelesaian dari ${}^4\log (3x-1)=2$ adalah $x=\cdots \cdot$
A. $5\frac{1}{3}$                      D. $7\frac{2}{3}$
B. $5\frac{2}{3}$                      E. $9\frac{1}{3}$
C. $7\frac{1}{3}$

Pembahasan

Diketahui ${}^4\log \left(3x-1\right)=2.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}3x-1& =4^2\\ 3x-1& =16\\ 3x& =16+1\\ 3x& =17\\ x& =\frac{17}{3}=5\frac{2}{3}\end{array}$$Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=5\frac{2}{3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari ${}^3\log (x^2+x+15)=3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-4,-3\}$                     D. $\{-3,4\}$
B. $\{-4,3\}$                        E. $\{3,4\}$
C. $\{-3,3\}$

Pembahasan

Diketahui ${}^3\log \left(x^2+x+15\right)=3.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2+x+15& =3^3\\ x^2+x+15& =27\\ x^2+x-12& =0\\ (x+4)(x-3)& =0\\ x=-4\text{atau}x& =3\end{array}$$Jadi, himpunan penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\{-4,3\}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jumlah akar-akar dari persamaan $\log (x^2-1)=\log 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                    C. $0$                     E. $6$
B. $-3$                    D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{cc}\log (x^2-1)& =\log 8\\ x^2-1& =8\\ x^2-9& =0\\ (x+3)(x-3)& =0\\ x_1=-3\text{atau}{x}_2& =3\end{array}$$Jadi, jumlah akar-akar dari persamaan logaritma tersebut adalah $x_1+x_2=(-3)+3=0$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Penyelesaian dari persamaan ${}^x\log (4x+12)=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-6$                 D. $x=6$
B. $x=-2$                 E. $x=-2$ atau $x=6$
C. $x=2$

Pembahasan

Diketahui ${}^x\log (4x+12)=2$.
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2& =4x+12\\ x^2-4x-12& =0\\ (x-6)(x+2)& =0\\ x=6\text{atau}x& =-2\end{array}$$Cek syarat bahwa numerus harus positif dan tidak sama dengan $1$. Perhatikan bahwa substitusi $x=-2$ membuat numerus bertanda negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=6$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\log \sqrt{{}^2\log x+8}=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2^{82}$                 C. $2^{90}$                  E. $4^{92}$
B. $2^{84}$                 D. $2^{92}$

Pembahasan

Ingat bahwa prinsip logaritma adalah: $a^c=b⟺{}^a\log b=c$.
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{array}{cccc}\log \sqrt{{}^2\log x+8}& =1& & \\ \log \sqrt{{}^2\log x+8}& =\log 10& & \\ \sqrt{{}^2\log x+8}& =10& & \\ {}^2\log x+8& =100& & \left(\text{Kuadratkan kedua ruas}\right)\\ {}^2\log x& =92& & \\ x& =2^{92}& & \end{array}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=2^{92}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai $x$ yang memenuhi ${}^x\log {\left(\frac{2}{9}\right)}^3=-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{27}{2}$                      D. $\frac{27}{4}\sqrt{2}$
B. $\frac{27}{4}$                      E. $\frac{27}{8}\sqrt{2}$
C. $\frac{27}{2}\sqrt{2}$

Pembahasan

Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma beserta sifat-sifat eksponen, kita dapatkan
$\begin{array}{cc}{x}^{-2}& ={\left(\frac{2}{9}\right)}^3\\ (x^{-2}{)}^{-\frac{1}{2}}& ={\left({\left(\frac{2}{9}\right)}^3\right)}^{-\frac{1}{2}}\\ x& ={\left(\frac{9}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}=\frac{27}{2\sqrt{2}}=\frac{27}{4}\sqrt{2}\end{array}$
Jadi, nilai dari $x=\frac{27}{4}\sqrt{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^2\log 2x+{}^3\log 3x={}^4\log 4x^2$, maka ${}^a\log 3=\cdots \cdot$
A. $-3$                    C. $-1$                   E. $2$
B. $-2$                    D. $1$

Pembahasan

Diketahui ${}^2\log 2x+{}^3\log 3x={}^4\log 4x^2.$
Persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi
$$\begin{array}{cc}{}^2\log 2x+{(}^3\log 3+{}^3\log x)& ={}^4\log (2x{)}^2\\ {}^2\log 2x+(1+{}^3\log x)& ={}^2\log 2x\\ 1+{}^3\log x& =0\\ {}^3\log x& =-1\\ x& =3^{-1}\end{array}$$Jadi, nilai $a=3^{-1}$, sehingga ${}^a\log 3={}^{3^{-1}}\log 3=-1$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika ${}^4\log {}^4\log x{-}^4\log {}^4\log {}^4\log 16=2$, maka $x=\cdots \cdot$
A. $4^2$                  C. $4^8$                 E. $4^{32}$
B. $4^4$                  D. $4^{16}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{cc}{}^4\log {}^4\log x-{}^4\log {}^4\log {}^4\log 16& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^4\log {}^4\log 2& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^4\log \frac{1}{2}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^{2^2}\log 2^{-1}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x+\frac{1}{2}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x& =\frac{3}{2}\\ {}^4\log x& =4^{\frac{3}{2}}=(2^2{)}^{\frac{3}{2}}=8\\ x=4^8& \end{array}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $x=4^8$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Salah satu nilai $p$ yang memenuhi$$4\cdot {}^p\log 2{-}^2\log p^2=-7$$adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                      C. $8$                       E. $32$
B. $4$                      D. $16$

Pembahasan

Pada bentuk logaritma, posisi basis dan numerus dapat dibalik dengan menggunakan sifat
$${}^a\log b={}^b\log a$$Oleh karena itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$4\cdot \frac{1}{{}^2\log p}-2\cdot {}^2\log p=-7$$Sekarang, misalkan ${}^2\log p=x$, sehingga kita peroleh
$$\begin{array}{cc}\frac{4}{x}-2x& =-7\\ \text{Kalikan kedua ruas}& \text{dengan}x\\ 4-2x^2& =-7x\\ 2x^2-7x-4& =0\\ (2x+1)(x-4)& =0\\ x=-\frac{1}{2}\text{atau}& x=4\end{array}$$Substitusi balik dan kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{}^2\log p=-\frac{1}{2}& \Rightarrow p=2^{-1/2}\\ {}^2\log p=4& \Rightarrow p=2^4=16\end{array}$$Jadi, salah satu nilai $p$ yang memenuhi persamaan adalah $p=16$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{x^{\log 15x}}{27x^{\log 5x}}=9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$                     D. $\mathrm{1.000.000}$
B. $10.000$                   E. $\mathrm{10.000.000}$
C. $100.000$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{x^{\log 15x}}{27x^{\log 5x}}& =9\\ \frac{1}{27}\times \frac{x^{\log 15x}}{x^{\log 5x}}& =9\\ x^{\log 15x-\log 5x}& =9\times 27\\ x^{\log \frac{15x}{5x}}& =3^2\times 3^3\\ x^{\log 3}& =3^5\end{array}$
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis $\begin{array}{cc}{}^x\log 3^5& =\log 3\\ {}^x\log 3^5& {=}^{{10}^5}\log 3^5\\ x& ={10}^5=100.000\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=100.000$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Hasil kali semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{x^2}{10.000}=\frac{10.000}{x^{2{(}^{10}\log x)-8}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $100$                      D. $100.000$
B. $1.000$                   E. $\mathrm{1.000.000}$
C. $10.000$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan logaritma, kita peroleh
$$\begin{array}{cccc}\frac{x^2}{10.000}& =\frac{10.000}{x^{2{(}^{10}\log x)-8}}& & \\ x^{2+2\log x-8}& =10.000\cdot 10.000& & \\ x^{2\log x-6}& ={10}^8& & \\ (x^{\log x-3}{)}^2& =({10}^4{)}^2& & \\ x^{\log x-3}& ={10}^4& & \\ \text{Tarik logarit}\text{ma di}& \text{kedua ruas}& & \\ \log x^{\log x-3}& =\log {10}^4& & \\ (\log x-3)\left(\log x\right)& =4& & \\ {\log }^{2}x-3\log x-4& =0& & \\ (\log x-4)(\log x+1)& =0& & \left(\text{Difaktorkan}\right)\\ \log x=4\text{atau}& \log x=-1& & \end{array}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{cc}\log x=4& \Rightarrow x_1={10}^4\\ \log x=-1& \Rightarrow x_2={10}^{-1}\end{array}$$Jadi, hasil kali semua nilai $x$ dari persamaan logaritma tersebut adalah$$x_1{x}_2={10}^4\cdot {10}^{-1}={10}^3=1.000$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $6\left(3^{40}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)=3^{43}$, maka nilai $a=\cdots \cdot$
A. $2$                    C. $8$                  E. $16$
B. $3$                    D. $9$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{array}{cc}6\left(3^{40}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)& =3^{43}\\ 2.3\left(3^{40}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)& =3^{41}\cdot 3^2\\ 2\left(3^{41}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)& =3^{41}\cdot 9\\ 2{(}^2\log a)+{}^2\log a& =9\\ 3{(}^2\log a)& =9\\ {}^2\log a& =\frac{9}{3}=3\\ a& =2^3=8\end{array}$
Jadi, nilai $a$ adalah $8$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1}={24}^{x-1}$ adalah $a{\cdot }^3\log 2+b$ dengan $a,b$ bilangan bulat positif. Nilai dari $a+b=\cdots \cdot$
A. $3$                     C. $6$                   E. $9$
B. $5$                     D. $7$

Pembahasan

Persamaan berpangkat tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara standar karena $8$ dan $24$ tidak memiliki basis pangkat yang sama.
Logaritmakan kedua ruas, kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk mencari nilai $x$ sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc}{8}^{x+1}& ={24}^{x-1}\\ \log 8^{x+1}& =\log {24}^{x-1}\\ (x+1)\log 8& =(x-1)\log 24\\ x\log 8+\log 8& =x\log 24-\log 24\\ x\log 8-x\log 24& =-\log 24-\log 8\\ x(\log 8-\log 24)& =-\log 24-\log 8\\ x& =\frac{-\log 24-\log 8}{\log 8-\log 24}=\frac{\log 24+\log 8}{\log 24-\log 8}\\ x& =\frac{\log (8\times 3)+\log 8}{\log \frac{24}{8}}\\ x& =\frac{\log 8+\log 3+\log 8}{\log 3}\\ x& =\frac{2\log 8+\log 3}{\log 3}\\ x& =\frac{2\log 2^3+\log 3}{\log 3}\\ x& =\frac{6\log 2+\log 3}{\log 3}\\ x& =\frac{6\log 2}{\log 3}+\frac{\log 3}{\log 3}\\ x& =6\cdot {}^3\log 2+1\end{array}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan berpangkat di atas adalah $x=6\cdot {}^3\log 2+1$, sehingga $a=6$ dan $b=1$, dan itu artinya, $a+b=6+1=7$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Persamaan$${}^{x^2-6x+14}\log (x-3)={}^{4x^2-4x+1}\log (x^2-6x+9)$$akan bernilai benar apabila nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                           D. $-3$ atau $5$
B. $5$                           E. $5$ atau $7$
C. $3$ atau $5$

Pembahasan

Perhatikan ruas kanan persamaan tersebut. Dengan menggunakan sifat bahwa $a^n\log b^n=a\log b$, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{}^{4x^2-4x+1}\log (x^2-6x+9)& ={}^{(2x-1{)}^2}\log (x-3{)}^2\\ & ={}^{2x-1}\log (x-3)\end{array}$$Dengan demikian, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut. $\begin{array}{cc}{}^{x^2-6x+14}\log (x-3)& ={}^{2x-1}\log (x-3)\\ x^2-6x+14& =2x-1\\ x^2-8x+15& =0\\ (x-3)(x-5)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=3$ atau $x=5$
Sekarang, ingat bahwa numerus logaritma haruslah positif, sehingga $x-3>0⟺x>3$
Untuk itu, hanya $x=5$ yang memenuhi syarat ini, sehingga agar persamaan yang diberikan bernilai benar, nilai $x$ adalah $x=5$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $u=x^2$ dan ${}^x\log 10={}^u\log (5u-40)$, maka nilai $u$ adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                    C. $27$                   E. $29$
B. $26$                    D. $28$          

Pembahasan

Substitusikan $u=x^2$ pada persamaan logaritma tersebut. 
$\begin{array}{cc}{}^x\log 10& ={}^u\log (5u-40)\\ {}^x\log 10& ={}^{x^2}\log (5u-40)\\ {}^x\log 10& =\frac{1}{2}\cdot {}^x\log (5u-40)\\ {}^x\log 10& ={}^x\log \sqrt{5u-40}\\ 10& =\sqrt{5u-40}\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ {10}^2& =(\sqrt{5u-40}{)}^2\\ 100& =5u-40\\ 140& =5u\\ u& =\frac{140}{5}=28\end{array}$
Jadi, nilai $u$ adalah $28$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika $x\log 2-y\log 3+z\log 5=10$ maka $2x+8y-3z=\cdots \cdot$
A. $-20$                  C. $0$                 E. $20$
B. $-10$                  D. $10$        

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh
$\begin{array}{cc}x\log 2-y\log 3+z\log 5& =10\\ \log 2^x-\log 3^y+\log 5^z& =10\\ \log \left(\frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}\right)& =\log {10}^{10}\\ \frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}& ={10}^{10}\end{array}$
Karena $2,3,5$ merupakan bilangan prima, maka bentuk pecahan $\frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}$ sudah dalam bentuk paling sederhana. Ini berarti $3^y$ haruslah bernilai $1$ (jika tidak, hasilnya akan berupa pecahan). 
Jadi, $y$ yang memenuhi adalah $0$.
Untuk itu, $2^x\cdot 5^z={10}^{10}$.
Pilih $x=z=10$, sehingga
$2^{10}\cdot 5^{10}=(2\cdot 5{)}^{10}={10}^{10}$.
Jadi, hasil dari
$\begin{array}{cc}2x+8y-3z& =2\left(10\right)+8\left(0\right)-3\left(10\right)\\ & =-10\end{array}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $x\ne y$ memenuhi persamaan $5x\cdot {}^3\log 2^y=x\cdot {}^3\log 2^x+y\cdot {}^3\log 2^{4y}$, maka nilai $\frac{x}{y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $3$                  E. $5$
B. $2$                      D. $4$           

Pembahasan

Sederhanakan persamaan yang diberikan.
$$\begin{array}{cc}5x{}^3\log 2^y& =x{}^3\log 2^x+y{}^3\log 2^{4y}\\ 5xy{}^3\log 2& =x^2{}^3\log 2+4y^2{}^3\log 2\\ 5xy& =x^2+4y^2\\ x^2-5xy+4y^2& =0\\ (x-y)(x-4y)& =0\end{array}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $x=y$ atau $x=4y$, tetapi karena diberikan bahwa $x\ne y$ (pada soal), maka dipilih $x=4y$. Dengan demikian,
$\frac{x}{y}=\frac{4y}{y}=4$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $b>1,x>0$ dan $(2x{)}^{{}^b\log 2}=(3x{)}^{{}^b\log 3}$, maka $x=\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{216}$               C. $1$               E. $216$        
B. $\frac{1}{6}$                   D. $6$     

Pembahasan

Logaritmakan kedua ruas, kemudian sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$$\begin{array}{cc}(2x{)}^{{}^b\log 2}& =(3x{)}^{{}^b\log 3}\\ {}^b\log (2x{)}^{{}^b\log 2}& ={}^b\log (3x{)}^{{}^b\log 3}\\ {}^b\log 2\cdot {}^b\log 2x& ={}^b\log 3\cdot {}^b\log 3x\\ {}^b\log 2\cdot {(}^b\log 2+{}^b\log x)& ={}^b\log 3\cdot {(}^b\log 3+{}^b\log x)\\ {(}^b\log 2{)}^2{+}^b\log 2\cdot {}^b\log x& ={(}^b\log 3{)}^2+{}^b\log 3\cdot {}^b\log x\\ {(}^b\log 2{)}^2-{(}^b\log 3{)}^2& ={}^b\log 3\cdot {}^b\log x-{}^b\log 2\cdot {}^b\log x\\ {(}^b\log 2+{}^b\log 3){(}^b\log 2-{}^b\log 3)& ={}^b\log x{(}^b\log 3-{}^b\log 2)\\ {}^b\log 6\cdot {}^b\log \frac{2}{3}& {=}^b\log x\cdot (-1){}^b\log \frac{2}{3}\\ {}^b\log 6& ={}^b\log x^{-1}\\ x^{-1}& =6\\ x& =\frac{1}{6}\end{array}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $\frac{1}{6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $x$ dan $y$ memenuhi ${}^2\log x^2+{}^3\log \frac{1}{y^3}=4$ dan ${}^2\log x+{}^3\log y^4=13$, maka nilai dari ${}^4\log x-{}^9\log y=\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{2}$                  C. $\frac{5}{2}$                   E. $\frac{9}{2}$
B. $\frac{3}{2}$                  D. $\frac{7}{2}$

Pembahasan

Kedua persamaan logaritma di atas membentuk sistem persamaan yang dapat ditulis menjadi berikut.
$$\{\begin{array}{cc}2{\cdot }^2\log x-3^3\log y& =4\\ {}^2\log x+4\cdot {}^3\log y& =13\end{array}$$Misalkan ${}^2\log x=a$ dan ${}^3\log y=b$, sehingga diperoleh SPLDV:
$$\{\begin{array}{cccc}2a-3b& =4& & (\cdots 1)\\ a+4b& =13& & (\cdots 2)\end{array}$$Selesaikan, kita peroleh $a=5$ dan $b=2$. Dengan demikian, substitusi balik menghasilkan
$$\begin{array}{cc}{}^2\log x=5& \Rightarrow x=2^5\\ {}^3\log y=2& \Rightarrow y=3^2\end{array}$$Jadi, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{}^4\log x-{}^9\log y& ={}^4\log 2^5-{}^9\log 3^2\\ & =\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}\end{array}$$(Jawaban B)