PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

 Nama MUHAMMAD FAQIH AKBAR

Kelas X MIPA 3

PROYEKSI ORTOGONAL

Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. 

RUMUS : Proyeksi ortogonal dan panjang proyeksi

CONTOH 1

1. Vektor yang merupakan proyeksi vektor (3,1,−1)$(3,1,-1)$ pada vektor (2,5,1)$(2,5,1)$ adalah…

   •  12(2,5,1)$\frac{1}{2}(2,5,1)$
   •  13(2,5,1)$\frac{1}{3}(2,5,1)$
   •  130(2,5,1)$\frac{1}{30}(2,5,1)$
   •  1330−−√(2,5,1)$\frac{1}{3}\sqrt{30}(2,5,1)$
   •  (−3–√,0,0)$(-\sqrt{3},0,0)$
   JAWABAN B

   Kita punya proyeksi =(3,1,−1)⋅(2,5,1)(2,5,1)⋅(2,5,1)(2,5,1)$=\frac{(3,1,-1)\cdot (2,5,1)}{(2,5,1)\cdot (2,5,1)}(2,5,1)$

   =1030(2,5,1)$=\frac{10}{30}(2,5,1)$

   =(23,53,13)$=(\frac{2}{3},\frac{5}{3},\frac{1}{3})$

   =13(2,5,1)$=\frac{1}{3}(2,5,<br>$

CONTOH 2

1. Proyeksi vektor a⃗ =(−3,0,0)$\overrightarrow{a}=(-3,0,0)$ pada vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ yang sejajar tetapi berlawanan arah dengan vektor (1,−2,−2)$(1,-2,-2)$ adalah…

   •  (−1,0,0)$(-1,0,0)$
   •  (−13,23,23)$(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
   •  (13,−23,−23)$(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$
   •  (−13√,23√,23√)$(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}})$
   •  (3–√,0,0)$(\sqrt{3},0,0)$
   JAWABAN B

   a⃗ ⋅b⃗ b⃗ ⋅b⃗ ⋅b⃗ =−k(1,−2,−2)→$\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}\cdot \overrightarrow{b}=-k(1,-2,-2)\to$Syarat sejajar dan berlawanan.

   Jadi b⃗ =(1,−2,−2)$\overrightarrow{b}=(1,-2,-2)$ dan −k=a⃗ ⋅b⃗ b⃗ ⋅b⃗ $-k=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}$

   −kk=(−3,0,0)⋅(1,−2,−2)(1,−2,−2,)⋅(1,−2,−2)=−39=13$\begin{array}{rl}-k& =\frac{(-3,0,0)\cdot (1,-2,-2)}{(1,-2,-2,)\cdot (1,-2,-2)}\\ & =\frac{-3}{9}\\ k& =\frac{1}{3}\end{array}$

   Jadi vektor yang dimaksud adalah −13(1,−2,−2)=(−13,23,23).$-\frac{1}{3}(1,-2,-2)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$

CONTOH 3

1. Diketahui a⃗ =⎛⎝⎜3−21⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ dan b⃗ =⎛⎝⎜2y2⎞⎠⎟$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ y\\ 2\end{array}\right)$

   Jika panjang proyeksi a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$sama dengan 12$\frac{1}{2}$panjang b⃗ $\overrightarrow{b}$, maka nilai y$y$ adalah…

   •  2−23–√ atau 2+23–√$2-2\sqrt{3}\text{ atau }2+2\sqrt{3}$
   •  1−3–√$1-\sqrt{3}$ atau 1+3–√$1+\sqrt{3}$
   •  −2−23–√ atau−2+23–√$-2-2\sqrt{3}\text{ atau}-2+2\sqrt{3}$
   •  −4(1−3–√) atau 4(1−3–√)$-4(1-\sqrt{3})\text{ atau }4(1-\sqrt{3})$
   •  43–√$4\sqrt{3}$ atau−43–√$-4\sqrt{3}$
   JAWABAN C 

   Perhatikan bahwa vektor proyeksi dari a⃗ $\overrightarrow{a}$ padab⃗ $\overrightarrow{b}$ adalah a⃗ ⋅b⃗ b⃗ ⋅b⃗ b⃗ $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}\overrightarrow{b}$.

   Panjangnya adalah |a⃗ ⋅b⃗ b⃗ ⋅b⃗ b⃗ |=|a⃗ ⋅b⃗ b⃗ ⋅b⃗ ||b⃗ |$|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}\overrightarrow{b}|=|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}||\overrightarrow{b}|$.

   Jadi, kita punya |a⃗ ⋅b⃗ b⃗ ⋅b⃗ |=12$|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}|=\frac{1}{2}$.

   Kita punya a⃗ ⋅b⃗ =6−2y+2=8−2y$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=6-2y+2=8-2y$ dan b⃗ ⋅b⃗ =4+y2+4=y2+8$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=4+y^2+4=y^2+8$.

   Sehingga kita punya |8−2yy2+8|=12$|\frac{8-2y}{y^2+8}|=\frac{1}{2}$.

   Di sini, kita punya dua kasus, antara 8−2yy2+8=12$\frac{8-2y}{y^2+8}=\frac{1}{2}$ atau 8−2yy2+8=−12$\frac{8-2y}{y^2+8}=-\frac{1}{2}$.

   Jika 8−2yy2+8=12$\frac{8-2y}{y^2+8}=\frac{1}{2}$ , kita harus punya 8−2y≥0$8-2y\ge 0$ , sehingga y≤4$y\le 4$.

   Kemudian, kita punya 16−4y=y2+8$16-4y=y^2+8$ , sehingga kita punya y2+4y−8=0$y^2+4y-8=0$.

   Menggunakan rumus abc$abc$ , kita punya

   y=−4±16+32−−−−−−√2=−4±48−−√2=−2±12−−√=−2±23–√.$\begin{array}{rl}y& =\frac{-4\pm \sqrt{16+32}}{2}\\ & =-\frac{4\pm \sqrt{48}}{2}\\ & =-2\pm \sqrt{12}\\ & =-2\pm 2\sqrt{3}.\end{array}$

   Jika 8−2yy2+8=−12$\frac{8-2y}{y^2+8}=-\frac{1}{2}$ , kita harus punya 8−2y≤0$8-2y\le 0$ , sehingga y≥4$y\ge 4$.

   Kemudian, kita punya 4y−16=y2+8$4y-16=y^2+8$ , sehingga kita punya y2−4y+24=0$y^2-4y+24=0$.

   Kita punya diskriminannya

   D=(−4)2−4×1×24=16−96=−80$\begin{array}{rl}D& =(-4{)}^2-4\times 1\times 24\\ & =16-96\\ & =-80\end{array}$

   sehingga persamaan tersebut tak punya solusi.

   Jadi, solusinya adalah −2±23–√$-2\pm 2\sqrt{3}$.